Problema de la perla más ligera

Problema de la perla más ligera:

En mercader de Beranés, en la India, tenia ocho perlas iguales por su forma, tamaño y color. De estas ocho perlas, siete tenían el mismo peso; la octava era un poco más ligera que las otras. ¿Cómo podría el mercader descubrir con toda seguridad utilizando la balanza y efectuando dos pesadas, sin disponer de pesa alguna?



Pista: El mercader tiene una balanza muy sensible.


Tomado de: El Hombre que Calculaba, de Malba Tahan.

Crecimiento Poblacional de la Ciudad de Turmero

En la ciudad de Turmero se estima una tasa de crecimiento poblacional de 2.5 en 10 años. Sí para el año 1991, tenía una población de 192352 habitantes. ¿Cuál será su población para el año 2001? Considere que el crecimiento es igual a la función exponencial.

Atómo

Al hacer un modelo físico o icónico del atómo. Los científicos descubren que el neutrón, próton y electrón constituyen el 5% del atómo, esa parte solamente representa el total de la masa de atómo. ¿A qué constituye el 95% restante?
Lo que implica que los seres humanos estamos contituidos por __________________

Pregunta sobre clases virtuales

Responde éstas preguntas:

- ¿Cómo harias más eficiente el tiempo empleado en clases?
- ¿Lees seguidamente? ¿Cuál fue la última novela que leíste?
- ¿Por qué participar en clases?
- ¿Por qué no?
- ¿Por qué piensas que las herramientas computacionales no te ayudan en tu labor estudiantil?

Razonamiento Lógico Matemático

¿Qué no te gusta de la materia razonamiento matemático?
Responde con tres aspectos que no te gusten y escribe como lo cambiarias para que sea buenos...

¿Qué te gusta de la materia razonamiento matemático?
Responde con tres aspectos que te gusten y escribe como lo cambiarias para que sea aun mejor...

Matématica

Escribe 5 razones por las cuales te gustan las matemáticas o 5 por las cuales no te gusta...

INTRODUCCIÓN AL PENSAMIENTO CIENTÍFICO

Razonamientos: Conjunto de propiedades en el que las premisas se toman como punto de partida para deducir otra proposición denominada conclusión. Ésta última se sigue lógicamente de las premisas.
Expresiones derivativas: Organizan el razonamiento. Tiene 3 clasificaciones:
- Coordinantes: Y - PERO- etc.
- Introducen la conclusión: LUEGO - POR LO TANTO - POR ENDE - etc.
- Los que indican premisas: PUESTO QUE - YA QUE - PORQUE - DADO QUE - etc.

A la lógica no le importa si las premisas son verdaderas o falsas, sino la forma de llegar a la conclusión, es decir, la forma de razonamiento.

2) Lenguaje de la lógica Proposicional
Variables proposicionales: p, q, r, s, t ...
Conectivas lógicas: NO ; Y ; O ; ENTONCES
Paréntesis: ( )

2.1) Lenguaje y Metalenguaje
Lenguaje Objeto: el lenguaje que se estudia.
Metalenguaje: El que sabemos, el propio.

2.2) Conectivas y el lenguaje Natural
Condicionales: Por ser Formal, no interesa su contenido, sino la forma de razonamiento; por eso no es necesario que tenga correspondencia con el mundo.
Antecedente: La condición. Generalmente siempre va primero.
Consecuente: Es la proposición que se afirma bajo la condición, es decir, lo que sucedería si el antecedente se cumple.

Por ejemplo: "Si apruebo Pensamiento Científico, me voy de vacaciones"
Antecedente Consecuente

Entre el ANTECEDENTE y el CONSECUENTE no es necesario que halla relación entre uno y otro.

Condicional material: (A B) es verdadero si A es falso o B es verdadero.
- Si ambos términos son V o F mi condicional va a ser verdadero.
- El condicional es FALSO cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

Por ejemplo:
- Promocioné IPC y me fui de vacaciones. (V- V) VERDADERA
- No promocioné IPC y no me fui de vacaciones. (F - F ) VERDADERA
- Promocioné IPC pero no me fui de vacaciones. (V- F) FALSA
- No promocioné IPC pero me fui de vacaciones. (F- V) VERDADERA

Condicional vacuamente verdadero: Cuando se tiene un condicional Verdadero con un antecedente Falso.
Por ejemplo: " Si pongo las manos en el fuego, me quemo"
Este condicional es verdadero cuando pongo las manos en el fuego, es decir, A y B son verdaderos, pero normalmente no solemos poner las manos en el fuego y no nos quemamos, es decir, A y B son falsos. Sin embargo sigue siendo verdad que si ponemos las manos en el fuego nos quemamos, por eso esta clase de condicionales reciben este nombre.

El condicional es verdadero siempre y cuando no quede el antecedente verdadero y el consecuente falso.

Recordar: El punto separa las premisas.

3. VALIDEZ
La validez es la encargada de transmitir la verdad, asegura que si la forma de razonamiento es válida, la conclusión va a ser verdadera.
Es importante mencionar que la validez de un razonamiento no depende de los valores veritativos de las proposiciones que lo componen.

Forma de razonamiento inválida:	V		Premisas
	F		Conclusión

- Razonamiento válido + conclusión falsa = Por lo menos una de las premisas es falsa.

3.1) Contraejemplo
Dar un contraejemplo consiste en construir un razonamiento de igual forma lógica que otro, pero con premisas verdaderas y conclusión falsa. Su función es probar la invalidez de un razonamiento. NO ES MÉTODO PARA PROBAR LA VALIDEZ DE UN RAZONAMIENTO. Por ejemplo:

p		q
	p
	q

Contraejemplo:

Si Maradona es un actor famoso, entonces es conocido en el mundo entero

Maradona no es un actor famoso

Maradona no es conocido en el mundo entero

Entonces sabemos que el razonamiento es inválido.

3.2) Formas válidas e inválidas
- La validez de los razonamientos depende de su forma. Si la forma es válida y las premisas son verdaderas, la conclusión necesariamente también será verdadera.

Formas válidas:

- Estas formas no admiten casos de sustitución que hagan a las premisas verdaderas y a la conclusión falsa.

Formas inválidas:

- Estas formas admiten premisas verdaderas y conclusión falsa, por eso son formas inválidas.

4) EL MÉTODO DE DEDUCCIÓN NATURAL
Este método sólo es posible en un lenguaje sintáctico, es decir, que sólo trabajamos con fórmulas sin contenido y, por lo tanto, ni verdaderas ni falsas.
Reglas de Inferencia:
1-Reglas para el condicional

2- Reglas para la disyunción

3- Reglas para la conjunción

4- Reglas para la negación

Las siguientes son aplicaciones incorrectas de la regla de simplificación:

Son aplicaciones incorrectas porque no puedo simplificar ni aplicar ninguna regla a fórmulas que formen parte de fórmulas complejas( una fórmula negada es también una fórmula compleja). En el último caso sencillamente no puedo simplificar porque no es una conjunción.

4.1) Deducciones directas e indirectas
Cuando no se puede llegar a la conclusión directamente aplicando reglas de inferencia a las premisas se puede dar un rodeo y probar indirectamente la conclusión.
1º paso: negar la conclusión que se quiere probar y agregar ese dato como un paso más en la cadena deductiva. Pero, en una deducción formal todo paso debe estar justificado. Entonces podemos justificar la negación del supuesto(conclusión ) mediante la regla del absurdo, y llamamos, al supuesto en cuestión "hipótesis del absurdo".
2º paso: Intentar obtener una contradicción, es decir, la conjunción de la fórmula y su contradicción. Esto se hace, ahora sí, aplicando directamente las reglas de inferencia a las premisas y a la hipótesis. Si llegamos a una contradicción, la regla nos autoriza a negar el supuesto que la originó, de ese modo, obtenemos la conclusión buscada.

No hay que confundir la deducción indirecta o la regla del absurdo (las cuales prueban la validez del razonamiento) con el contraejemplo (que prueba la invalidez).

La regla del Absurdo expresa la contradicción ( B .B) en metalenguaje, eso quiere decir que podemos obtener cualquier contradicción.
Son entonces también correctas las siguientes soluciones:

5) Los razonamientos inductivos y la inducción
Razonamientos deductivos: la verdad de las premisas garantiza la verdad de la conclusión, esto es una característica muy importante de los razonamientos válidos.
Razonamientos inductivos:
- La verdad de la conclusión será probable y tendrá mayor posibilidad de ser verdadera cuanto mayor sea el número de casos.
- La conclusión no se deduce, sino que se infiere en algún grado de posibilidad.
- Las premisas adicionales modifican las probabilidades de la conclusión, haciéndola más o menos probable o incluso falsa si hubiera entre las premisas un caso contrario al enunciado general. ESTO NO OCURRE EN LOS RAZONAMIENTOS DEDUCTIVOS (a esta característica de los razonamientos deductivos se la denomina "propiedad de la monotonía".)
- La conclusión siempre dice más que lo está contenido en las premisas (nos permite obtener un conocimiento nuevo).
- Amplían el conocimiento pero al precio de garantizar la verdad de la conclusión.
- El conocimiento que proporcionan es siempre FALIBLE.
- En el inductivismo no es contradictorio afirmar mis premisas y negar mi conclusión.
- La inducción va de los conocido a lo desconocido.
- La verdad de las premisas no siguen la verdad de la conclusión.

5.1) Inducción por enumeración simple
Razonamientos por numeración: Es afirmar una generalización basada en la observación de una muestra; es decir, se saca una conclusión acerca de todos los miembros de una clase a partir de premisas que se refieren a algunos miembros observados de la clase en cuestión.

Si los casos A observados poseen la propiedad B sólo en algún porcentaje, la conclusión será un enunciado general estadístico.
En los razonamientos inductivos por enumeración, se sabe que a pesar de ser deductivamente inválidos, pueden ser correctos desde el punto de vista inductivo, y para eso existen 2 criterios que determinan, en principio, la corrección de estos razonamientos.
Estos son:
Criterio de cantidad: La cantidad de casos considerados debe ser un número suficientemente grande para poder generalizar.
Criterio de calidad: La cantidad de casos considerados debe ser suficientemente variada, es decir, tiene que ser una muestra representativa, para poder generalizar.
Inducción incorrecta: Cuando se generaliza a partir de unos pocos casos o cuando los casos considerados, aún en número suficiente, no son representativos de la totalidad de la población, se realiza una INDUCCIÓN INCORRECTA, es decir, una GENERALIZACIÓN ACCIDENTAL.

Por ejemplo: Una encuesta electoral que considere una gran cantidad sólo del barrio de Lugano no es válida para la Capital Federal, puesto que no es representativa.

Es importante mencionar que estos criterios poseen problemas, en el de cantidad no se puede determinar que cantidad de casos son necesarios. La cantidad depende del contexto.
Por ejemplo, si uno pone las manos en el fuego y se quema, basta con hacerlo una vez para realizar una inducción a partir de una sólo caso; y en el de calidad o se puede establecer una muestra representativa sabiendo que el universo a considerar es infinito.

5.2) Otros razonamientos inductivos
El conocimiento empírico (se apoya en razones parciales, no deductivas) y el conocimiento que proporcionan las ciencias fácticas están basados en razones no concluyentes.

Se considera inductivo a todo tipo de razones (no necesariamente razonamientos inductivos) que proporcionen algún apoyo parcial, no concluyente, a alguna cuestión, por este motivo la experiencia, la observación (por ser falible) es una justificación inductiva.

Silogismo Inductivo:
· Brindan apoyos parciales su conclusión.
· La conclusión no se deduce de las premisas.
· La 1º premisa establece la frecuencia con que se da cierta propiedad en los individuos de una clase. La 2º indica que un individuo pertenece a esa clase. La conclusión establece que también tiene esa propiedad.

Por ejemplo:

Forma Lógica:

A tiene todas las propiedades de F, G, H y Z

B tiene las propiedades de F, G y H

B tiene las propiedades de Z

Material tomado de http://www.altillo.com/EXAMENES/uba/ubaxxi/ipc/ipcnocioneslogica.asp

Conjunto Fractales

Conjunto de Mandelbrot es el más conocido de los conjuntos fractales, y el más estudiado.

Este conjunto se define así, en el plano complejo:
Sea c un número complejo cualquiera. A partir de c, se construye una sucesión por inducción: Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que c pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido del mismo. En la imagen anterior, los puntos negros pertenecen al conjunto y los de color no. Los colores dan una indicación de la velocidad con la que diverge (tiende al infinito, en módulo) la sucesión: en rojo oscuro, al cabo de pocos cálculos se sabe que el punto no está en el conjunto mientras que en blanco, se ha tardado mucho más en comprobarlo. Como no se puede calcular un sinfín de valores, es preciso poner un límite, y decidir que si los p primeros términos de la sucesión están acotados entonces se considera que el punto pertenece al conjunto. Al aumentar el valor de p se mejora la precisión de la imagen.

Tomado de http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_Mandelbrot

Vean este link:

Parecidos Razonables (IV): Mandelbrot y Taranaki

Blog CIP.

Lógica Difusa

Introducción a la Lógica Difusa

La lógica difusa ha cobrado una fama grande por la variedad de sus aplicaciones, las cuales van desde el control de complejos procesos industriales, hasta el diseño de dispositivos artificiales de deducción automática, pasando por la construcción de artefactos electrónicos de uso doméstico y de entretenimiento, así como también de sistemas de diagnóstico. La expedición de patentes industriales de mecanismos basados en la lógica difusa tiene un crecimiento sumamente rápido en todas las naciones industrializadas del orbe.

Las lógicas difusas, pues de hecho hay que hablar de ellas en plural, son esencialmente lógicas multivaluadas que extienden a las lógicas clásicas las cuales deben su nombre a que imponen a sus enunciados únicamente valores falso o verdadero. Bien que las lógicas clásicas han modelado satisfactoriamente a una gran parte del razonamiento ``natural'', es cierto que el razonamiento humano utiliza valores de verdad que no necesariamente son ``deterministas''. Por ejemplo, al calificar que ``el cielo es azul'' uno está tentado a graduar qué tan ``azul'', en efecto, es el cielo, e igualmente, si ``un vehículo se mueve rápido'', también se está obligado a considerar qué tan rápido es el vehículo, aunque esto último no implique necesariamente cuantificar la velocidad del vehículo con toda precisión.

Las lógicas difusas tratan de crear aproximaciones matemáticas en la resolución de ciertos tipos de problemas. Pretenden producir resultados exactos a partir de datos imprecisos, por lo cual son particularmente útiles en aplicaciones electrónicas o computacionales.

El adjetivo ``difuso'' aplicado a estas lógicas se debe a que en ellas los valores de verdad no-deterministas utilizados tienen, por lo general, una connotación de incertidumbre. Un vaso medio lleno, independientemente de que también esté medio vacío, no está lleno completamente ni está vacío completamente. Qué tan lleno puede estar es un elemento de incertidumbre, es decir, de difusidad, entendida esta última como una propiedad de indeterminismo. Ahora bien, los valores de verdad asumidos por enunciados aunque no son deterministas, no necesariamente son desconocidos. Por otra parte, desde un punto de vista optimista, lo difuso puede entenderse como la posibilidad de asignar más valores de verdad a los enunciados que los clásicos ``falso'' o ``verdadero''. Consecuentemente, las lógicas difusas son tipos especiales de lógicas multivaluadas.

Se ha considerado de manera general que la lógica difusa se inició en 1965, en la Universidad de California en Berkeley por Lotfi A. Zadeh.

En esta presentación haremos énfasis en el carácter multivaluado de las lógicas difusas.

Introduciremos primero la noción de conjunto difuso, y las operaciones usuales en ese tipo de conjuntos. Inmediatamente después, presentaremos ciertos tipos de cálculos proposicionales de tipo difuso y concluiremos con algunos esquemas de deducción automática basados en lógicas difusas.

Tomado de http://delta.cs.cinvestav.mx/~gmorales/ldifl/node1.html

Razonamientos y Silogismos Deductivos...

RAZONAR

Se puede construir un razonamiento válido a partir de premisas verdaderas y llegar a una conclusión verdadera. También se puede construir un razonamiento válido a partir de premisas falsas y llegar a una conclusión falsa.

La parte difícil es que se pueden comenzar con premisas falsas, proceder por medio de la inferencia válida y alcanzar una conclusión verdadera. Por ejemplo:

Premisa: Todos los peces viven en el océano. (falso)

Premisa: Las nutrias marinas son peces. (falso)

Conclusión: Luego, las nutrias marinas viven en el océano. (verdadero)

Pero hay una cosa que no se puede hacer: Comenzar con premisas verdaderas, proceder vía inferencia deductiva válida y llegar a una conclusión falsa.

Se pueden resumir estos resultados en una "tabla de verdad" para las implicaciones. El símbolo "=>" denota implicación, "A" es la premisa, "B" es la conclusión.

Tabla de verdad para implicaciones

Premisa	Conclusión	Inferencia
A	B	A => B
Falsa	Falsa	Válida
Falsa	Verdadera	Válida
Verdadera	Falsa	Inválida
Verdadera	Verdadera	Válida

• Si las premisas son falsas y la inferencia es válida, la conclusión puede ser verdadera o falsa. (líneas 1 y 2)

• Si las premisas son verdaderas y la conclusión es falsa, la inferencia es inválida. (Línea 3)

• Si las premisas son verdaderas y la inferencia es válida, la conclusión deberá ser verdadera. (Línea 4)

Por lo tanto el hecho que un razonamiento sea válido no significa necesariamente que la conclusión también lo sea. Pudo haber partido de premisas falsas.

Si un razonamiento es válido, y además partió de premisas verdaderas, se denomina razonamiento confiable. Un razonamiento confiable debe llegar a una conclusión verdadera.

Ejemplo de razonamiento (o silogismo)

He aquí un ejemplo de razonamiento que es válido y que puede ser o no verdadero y/o confiable.

1. Premisa: Todo evento tiene una causa

2. Premisa: El universo tuvo un comienzo

3. Premisa: Todo comienzo comprehende un evento

4. Inferencia: Esto implica que el comienzo del universo comprehendió un evento

5. Inferencia: Luego, el comienzo del universo tuvo una causa

6. Conclusión: El universo tuvo una causa

La proposición en la línea 4 es inferida de las líneas 2 y 3. Luego la línea 1 se usa, con la proposición derivada en la línea 4, para inferir una nueva proposición en la línea 5. El resultado de la inferencia en la línea 5 es luego reformulado (en una forma simplificada) como la conclusión.

Verdad y validez

a. "Todos los radicales están contra las empresas, y Marta es radical. Así que Marta está contra las empresas"
b. "Todos los productos softmicro son chatarra, y FrontSheet es un producto softmicro, así que FrontSheet es chatarra".
Estos son razonamientos. Los razonamientos tienen premisas y conclusiones.
Preguntas:
1) ¿Cuáles son las premisas de (a)? ¿Cuál es la conclusión? 2) ¿Cuáles son las premisas de (b)? ¿Cuál es la conclusión?

Las premisas se supone que prueban la conclusión.
3. ¿Lo hacen en (a)?
4. ¿Lo hacen en (b)?
Un razonamiento válido es aquel en que dadas unas premisas verdaderas garantiza una conclusión verdadera.
Un razonamiento no válido no puede garantizar una conclusión verdadera, aunque se den premisas verdaderas.
a. Alex es hombre y es un buen conductor. ¡Todos los hombres son buenos conductores!
¿Es esto válido? ¿Tiene una estructura válida? Una señal de que no lo es, ¡es que la conclusión es errónea! Si ves que la conclusión es errónea, es porque el argumento tiene premisas falsas o no tiene una estructura válida.
5) ¿Cuál es el caso de (c)?
Una conclusión no necesariamente es errónea porque provenga de un argumento no válido: El razonamiento simplemente no prueba la conclusión. Consideremos:
d. Los pájaros tienen ojos. Los animales tienen ojos. Por lo tanto, los pájaros son animales.
La conclusión es verdadera, pero no es la consecuencia de las premisas. Qué les parece este razonamiento, un gran éxito de los cincuenta:
e. Todos los liberales son comunistas. Rosa es liberal. ¡Rosa es comunista!
6) ¿Es (e) válido? ¿Tiene una forma válida? Si fuera cierto que todos los liberales son comunistas y Rosa fuese liberal, ¿sería también cierto que Rosa es comunista?
7) ¿Es (e) válido? Si no lo es, ¿Qué es lo que está mal? (Consejo: recuerda las dos maneras en las que un razonamiento puede fallar)

Tomado de: http://www.lacoctelera.com/razonamientologico/post/2007/05/01/razonar

Hombre o Mujer o La magia del lenguaje

¿Es lo mismo un hombre que se disfraza de mujer que se disfraza de hombre que se disfraza de mujer que un hombre que se disfraza de mujer-que-se-disfraza-de-hombre-que-se-disfraza-de-mujer que un hombre-que-se-disfraza-de-mujer que se disfraza de hombre-que-se-disfraza-de-mujer que un hombre-que-se-disfraza-de-mujer-que-se-disfraza-de-hombre que se disfraza de mujer?

Tomado del blog: http://eltopologico.blogspot.com/
Publicado por Gustavo Piñeiro